背包问题

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给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，现有一个背包，能承受的重量有限，在受限制的重量下，去取若干物品使总价值最大。

可拆分背包问题

有$N$件物品和一个容积为$V$的背包。每件物品具有体积$c_i$和价值$w_i$。每件物品可以分割成任意大小后放入背包，且单位价值体积不变。该背包中最多可以放入的物品总价值为多少？

我们总是优先挑选单位体积内价值较高的物品放入背包内，所以对于每种物品，先计算其价值对体积的比值（性价比）$r_i=\frac{w_i}{c_i}$，之后对$r_i$进行排序后优先选择性价比较高的物品即可。

可拆分背包问题作为一种较为简单的背包，正是由于其可拆分的性质，所以能够使用贪心轻易地解决。

01背包问题

​ 洛谷P1060 开心的金明

​ 洛谷P1048 采药

当前有$N$件物品和一个容积为$V$的背包。已知第i件物品的体积是$c_i$，价值是$w_i$。每种物品有且仅有一件，并且体积不可分割，只能选择放入或者不放入背包。现在需要选出若干件物品，在重量之和不超过V的条件下，使得总价值尽可能大。

算性价比?

反例：

$c_i$ $w_i $ 性价比
4 8 2
3 5 $\frac{5}{3}$
3 4 $\frac{4}{3}$

$V=6$

暴搜？

放或不放 $O(2^n)$

动态规划：

状态：前$i$个物品，总重量不超过$j$的前提下。所获得的最大价值为$dp[i][j]$。

转移方程：

核心代码：

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for (int i = 1; i <= N; ++i) {
    for (int j = 0; j <= V; ++j) {
        if(j >= c[i]) {
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - c[i]] + w[i], dp[i - 1][j]);
        } else {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }
}

优化：转移时第一维只与i-1和i有关，因此我们可以将dp数组压缩

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int dp[2][V];

多重背包问题

​ 洛谷P1776 宝物筛选

有$N$种物品，第$i$种物品的体积是$c_i$，价值是$w_i$，每种物品的数量都是有限的，为$n_i$。现有容量为$V$的背包，请你放入若干物品，在总体积不超过$V$的条件下，使总价值尽可能大。

解法一：

将$N$种物品逐个拆分，得到$\sum{n_i}$个独立物品后用01背包解决。$O(V\sum{n_i})$

解法二：

在转移的过程中枚举第$i$个物品选取的数量$k$，和01背包的思想一样。

复杂度$O(V\sum{n_i})$

核心代码：

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for (int i = 1; i <= N; i++) {
    for (int j = 0; j <= V; j++) {
        for (int k = 0; k <= n[i]; k++) {
            if (j >= c[i] * k) {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - c[i] * k] + w[i] * k, dp[i][j]);
            }
        }
    }
}

这份代码和01背包相比不再有else部分了，因为k=0的时候dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j])，相当于01背包的else部分。

优化：

和01背包一样，由于转移方程只用到i和i-1，可以转成滚动数组，但由于dp[i][j]依赖初始值，所以在每次j循环开始之前一定要

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memset(dp[flag],0,sizeof(dp[flag]));

完全背包问题

洛谷P1616 疯狂的采药

当前有$N$种物品，第$i$种物品的体积是$c_i$，价值是$w_i$。每种物品的数量是无限的，可以任意选择若干件。现有容量为$V$的背包，请你放入若干物品，使总体积不超过$V$，并且总价值尽可能大。

解法：虽然物品个数是无限的，但是实际上，由于背包容量有上限，每个物品最多选取的个数也是有限制的，这样可以转换成多重背包问题$n_i=\frac{V}{c_i}$，进而可以转换成01背包问题。

核心代码：

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for (int i = 1; i <= N; i++) {
    for (int j = 0; j <= V; j++) {
        for (int k = 0; k * c[i] <= j; k++) {
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - c[i] * k] + w[i] * k, dp[i][j]);
        }
    }
}

时间效率优化：

我们可以注意到

而

也就是说，我们完全可以用dp[i][j-c[i]]的信息去更新dp[i][j]，而不用多此一举去枚举k了，转移可以直接变成如下

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for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 0; j <= v; j++) {
        if (j >= c[i]) {
            dp[i][j] = max(dp[i][j - c[i]] + w[i], dp[i - 1][j]);
        } else {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }
}

背包问题的空间优化

二维转一维

以01背包为例：

原来的滚动数组代码：

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int flag = 1;
for (int i = 1; i <= N; i++) {
    for (int j = 0; j <= V; j++) {
        if (j > c[i]) {
            dp[flag][j] = max(dp[1 - flag][j - c[i]] + w[i], dp[1 - flag][j]);    
        } else {
            dp[flag][j] = dp[1 - flag][j];
        }
    }
    flag = 1 - flag;
}

如果我们把 dp 数组只开成一维表示体积，然后从大到小枚举体积，也就是从 $V$到$0$枚举，则当前引用的 dp[j]和dp[j-c[i]]仍然是计算第i-1件物品的结果，即二维状态下的dp[1-flag][j], dp[1-flag][j-c[i]],因为我们之前没有更新过dp[1-flag][j],dp[1-flag][j-c[i]]的值。

故我们可以简化转移方程：

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for (int i = 1; i <= n; i++){
    for (int j = v; j >= c[i]; j--) {
        dp[j] = max(dp[j - c[i]] + w[i], dp[j]);
    }
}

同理，多重背包：

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for (int i = 1; i <= N; i++) {
    for (int j = V; j >= 0; j--) {
        for (int k = 1; k <= n[i]; k++) {
            if (j >= c[i] * k) {
                dp[j] = max(dp[j - c[i] * k] + w[i] * k, dp[j]);
            }
        }
    }
}

完全背包：

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for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = c[i]; j <= v; j++) {
        dp[j] = max(dp[j - c[i]] + w[i], dp[j]);
    }
}

节省了一半空间。

扩展——分组背包问题

洛谷P1757 通天之分组背包

当前有$N$种物品，第$i$种物品的体积是$c_i$，价值是$w_i$。每种物品有且仅有一件。这些东西被分为$K$组，同组的物品不能同时放入背包。现有容量为$V$的背包，请你放入若干物品，使总体积不超过$V$，并且总价值尽可能大。

解法：

在考虑最优解时，对于每一组内的物品有两种选择策略，要么选择组中的某一个物品放入背包，要么包内的任何一个物品都不选入背包。考虑到该策略与 01 背包的相似性，我们可以将一组物品抽象成单独的物品。首先使用朴素的 01 背包写法，用 dp[i][j] 表示枚举到第 $i$ 组物品时，背包体积不超过 $j$ 的最大价值和。

而与 01 背包不同的是，对于组内的每一个物品需要逐一枚举。

核心代码：

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for (int i = 1; i <= K; i++) {
    for (int j = 0; j <= V; j++) {
        dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        for (int k = 0; k < n[i]; k++) {
            if (j >= c[i][k]) {
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - c[i][k]] + w[i][k]);
            }
        }
    }
}

总结

背包类型 每种物品数量 基本解法
01背包 1个 动规，双循环选最大值
多重背包 若干个 在01的基础上枚举选择的数量或将物品拆分成独立物品后按01来做
完全背包 无限 算出可放物品最大数量后按多重背包做

作业：洛谷